Resumen del Teorema de Tales: Una guía completa – Resúmenes Literarios

El Teorema de Tales

El Teorema de Tales es un principio geométrico fundamental que describe la proporcionalidad de los segmentos en triángulos semejantes. Fue propuesto por el filósofo y matemático griego Tales de Mileto.

Enunciado del Teorema

Si dos triángulos, ABC y A’B’C’, son semejantes, entonces la relación entre las longitudes de sus lados correspondientes es constante:

AB / A'B' = AC / A'C' = BC / B'C'

Fórmula de Proporcionalidad

La fórmula general de proporcionalidad es:

a/b = c/d = e/f

Donde a, b, c, d, e y f son las longitudes de los segmentos correspondientes en los triángulos semejantes.

Aplicaciones del Teorema de Tales

  • Cálculo de alturas inaccesibles: Determinar la altura de objetos sin tener acceso directo a ellos.
  • Escalas en mapas: Convertir distancias en mapas a distancias reales.
  • Construcción de figuras semejantes: Crear figuras con la misma forma y tamaño pero escaladas.
  • Resolución de problemas de proporcionalidad: Hallar valores desconocidos basándose en relaciones proporcionales.

Teorema de Tales en el Dibujo Técnico

  • Identificar figuras semejantes: Reconocer triángulos que comparten un ángulo y lados proporcionales.
  • Medición de segmentos conocidos: Medir los segmentos conocidos en una figura para establecer proporciones.
  • Proporción entre segmentos conocidos y desconocidos: Establecer una relación entre los segmentos conocidos y los desconocidos.
  • Cálculo de segmentos desconocidos: Resolver la proporción para encontrar los segmentos desconocidos.

Ejercicios

Ejemplo 1: Una persona mide 1,70 m y su sombra mide 1,20 m. Al mismo tiempo, la sombra de un edificio mide 24 m. ¿Cuál es la altura del edificio?

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Solución:
1,7 / 1,2 = h / 24
h = (1,7 24) / 1,2
h = 34 m

Ejemplo 2: Un mapa tiene una escala de 1:100.000. La distancia entre dos ciudades en el mapa es de 5 cm. ¿Cuál es la distancia real entre las ciudades?

Solución:
1 / 100.000 = 5 / x
x = 500.000 cm
x = 5 km

El Teorema de Tales es una herramienta esencial en geometría y dibujo técnico que permite resolver problemas de proporcionalidad y semejanza. Entender y aplicar correctamente este teorema es crucial para obtener resultados precisos en diversos proyectos.

Dato Clave Descripción
Enunciado Los segmentos de dos triángulos semejantes son proporcionales.
Fórmula AB / A’B’ = AC / A’C’ = BC / B’C’
Aplicación Calcular alturas inaccesibles, escalas de mapas, construir figuras semejantes y resolver problemas de proporcionalidad.
Dibujo técnico Identificar figuras semejantes, medir segmentos conocidos, establecer proporciones y encontrar segmentos desconocidos.
Ejemplo 1 Calcular la altura de un edificio a partir de la sombra de una persona.
Ejemplo 2 Determinar la distancia real entre dos ciudades en un mapa.
Puntos relevantes 1. Relación de segmentos proporcionales en triángulos semejantes.
Puntos relevantes 2. Aplicación a triángulos con ángulos comunes y lados proporcionales.
Puntos relevantes 3. Dividir triángulos en partes iguales paralelas a la base para obtener proporciones iguales.
Puntos relevantes 4. La proporción es la misma para todos los pares de lados paralelos.
Puntos relevantes 5. El teorema permite encontrar longitudes desconocidas en triángulos semejantes.

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¿Qué es el Teorema de Tales?

Es un principio geométrico que establece una relación de proporcionalidad entre los segmentos de dos triángulos semejantes.

¿Cómo se aplica el Teorema de Tales?

  1. Identifique dos figuras semejantes.
  2. Mida los segmentos conocidos en una figura.
  3. Establezca una proporción entre los segmentos conocidos y los desconocidos.
  4. Resuelva la proporción para encontrar los segmentos desconocidos.
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¿Cuáles son las aplicaciones del Teorema de Tales?

  • Calcular alturas de objetos inaccesibles
  • Determinar escalas en mapas
  • Construir figuras semejantes
  • Resolver problemas de proporcionalidad

¿Cuáles son las fórmulas del Teorema de Tales?

  • Proporción de lados: a/b = c/d = e/f
  • Semejanza de ángulos: A/X = B/Y = C/Z

Categorías: Resumenes

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